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中学数学思想在教学中的运用  

2017-07-13 10:14:05|  分类: 默认分类 |  标签: |举报 |字号 订阅

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基本数学思想包括:数形结合思想,分类讨论思想,方程与函数思想,等价转化思想等。

()数形结合思想

数形结合是一种数学思想方法,包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面,其应用大致可以分为两种情形:借助图形的直观性来说明数之间的联系,即以形作为手段,数为目的,比如我们学习函数时用图形来说明函数的性质;或者是借助于数的精确性阐明形的某些属性,即以数作为基础,形作为目的,如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质。

数形结合的思想,是数与形的结合,它可以使抽象的问题具体化,复杂的问题简单化,代数问题几何化,几何问题代数化。在运用数形结合思想分析和解决问题时,要知道两点:第一函数的图像、方程的曲线、集合的文氏图或数轴表示等要彻底明白,是“以形示数”;第二是解析几何的方程、斜率、距离公式、向量的坐标表示则是“以数助形”。

()分类讨论思想

分类讨论是一种逻辑方法,是一种重要的数学思想,同时也是一种重要的解题策略,它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法。分类讨论思想的问题在中学数学中有很广泛的应用,也是很重要的一种数学思想方法。每年的高考题总是要接触到分类讨论思想。

引起分类讨论的原因主要是以下几个方面:

① 问题所涉及到的数学概念是分类进行定义的。如解含绝对值不等式时,我们就要对绝对值里面的值分三类进行讨论;解集合的题目使也是经常要对集合的情况讨论。这种分类讨论题型可以称为概念型。

② 问题中涉及到的数学定理、公式和运算性质、法则有范围或者条件限制,或者是分类给出的。如等比数列的前n项和的公式,分q=1和q≠1两种情况。这种分类讨论题型可以称为性质型。

③ 解含有参数的题目时,必须根据参数的不同取值范围进行讨论。如解不等式ax>2时分a>0、a=0和a<0三种情况讨论。这称为含参型。

另外,某些不确定的数量、不确定的图形的形状或位置、不确定的结论等,都主要通过分类讨论,保证其完整性,使之具有确定性。

进行分类讨论时,我们要遵循的原则是:分类的对象是确定的,标准是统一的,不遗漏、不重复,科学地划分,分清主次,不越级讨论。其中最重要的一条是“不漏不重”。

(三)、函数与方程思想

函数思想,是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题。方程思想,是从问题的数量关系入手,运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型(方程、不等式、或方程与不等式的混合组),然后通过解方程(组)或不等式(组)来使问题获解。有时,还实现函数与方程的互相转化、接轨,达到解决问题的目的。

方程思想是:实际问题→数学问题→代数问题→方程问题。不等式问题也与方程是近亲,密切相关。而函数和多元方程没有什么本质的区别,如函数y=f(x),就可以看作关于x、y的二元方程f(x)-y=0。可以说,函数的研究离不开方程。列方程、解方程和研究方程的特性,都是应用方程思想时需要重点考虑的。

函数描述了自然界中数量之间的关系,函数思想通过提出问题的数学特征,建立函数关系型的数学模型,从而进行研究。它体现了“联系和变化”的辩证唯物主义观点。一般地,函数思想是构造函数从而利用函数的性质解题,经常利用的性质是:f(x)、f(x)的单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图像变换等,要求我们熟练掌握的是一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数的具体特性。在解题中,善于挖掘题目中的隐含条件,构造出函数解析式和妙用函数的性质,是应用函数思想的关键。对所给的问题观察、分析、判断比较深入、充分、全面时,才能产生由此及彼的联系,构造出函数原型。我们应用函数思想的几种常见题型是:遇到变量,构造函数关系解题;有关的不等式、方程、最小值和最大值之类的问题,利用函数观点加以分析;含有多个变量的数学问题中,选定合适的主变量,从而揭示其中的函数关系;实际应用问题,翻译成数学语言,建立数学模型和函数关系式,应用函数性质或不等式等知识解答;等差、等比数列中,通项公式、前n项和的公式,都可以看成n的函数,数列问题也可以用函数方法解决。进行分类讨论时,我们要遵循的原则是:分类的对象是确定的,标准是统一的,不遗漏、不重复,科学地划分,分清主次,不越级讨论。其中最重要的一条是“不漏不重”。

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